文档摘要：针对各种微分方程数值求解的方法,如有限差分法、有限元法等方法,在求解微分方程时存在计算存储量、计算时间等都随着微分方程维数的增加而剧烈增长的问题,严重制约了高维问题的求解.神经网络因其能够无限逼近任意非线性函数的特性,为求解微分方程提供了一种新的思路.通过神经网络训练,得到微分方程的近似解是连续函数,且具有足够的精度,因此可以得到解的任意阶导数.该方法的优势在于当问题维数增大时,计算量和存储量增加相对较小,可以克服维数灾难求解高维问题;同时,具有良好的泛化性和求解复杂区域问题的能力.提出一种求解微分方程的神经网络方法,即通过物理约束耦合神经网络的方法.通过数值算例说明,神经网络方法在求解微分方程问题上有高效率、很好的泛化等优点,能够保证优化算法的收敛性,且近似解具有足够的精度,为微分方程求解提供了一种有效的途径.
Abstract：Forthesolutionofvariousnumericalmethodsofdifferentialequations,suchasfinitedifferenceandfiniteele-mentmethods,thereexistsaproblemthatthecalculationstorageandcalculationtimeincreasedramaticallywiththedi-mensionofthedifferentialequation,whichseriouslyrestrictsthesolutionofhigh-dimensionalproblems.Neuralnetworkprovidesanewapproachtosolvingdifferentialequations,asitcaninfiniteapproximationtoanynonlinearfunction.Throughneuralnetworktraining,theapproximatesolutionofadifferentialequationbecomesacontinuousfunction,withenoughprecisiontoobtainanyorderderivativeofthesolution.Theadvantageofthismethodisthatwhenthedimensionoftheproblemincreases,theincreaseofcomputationandstorageisrelativelysmall,anditcanovercomethedisasterofdimensionandsolvethehigh-dimensionproblem.Atthesametime,ithasgoodgeneralizationandtheabilitytosolvecomplexregionalproblems.Inthispaper,aneuralnetworkmethodforsolvingdifferentialequationsisproposed,whichiscoupledbyphysicalconstraints.Thenumericalexamplesdemonstratethatthismethodhashighefficiencyandgoodgeneralization,ensuringtheconvergenceoftheoptimizationalgorithm,andtheapproximatesolutionhasenoughpreci-sion,whichprovidesaneffectivewayofsolvingdifferentialequations.
作者：黑亚芳 胡建成Author：HEIYafang HUJiancheng
作者单位：成都信息工程大学应用数学学院,四川成都610225
刊名：成都信息工程大学学报
Journal：JournalofChengduUniversityOfInformationTechnology
年，卷(期)：2024, 39(4)
分类号：O241.81
关键词：常微分方程 数值计算 神经网络
Keywords：ordinarydifferentialequation numericalcalculation neuralnetwork
机标分类号：O175.1O241.81TP301.6
在线出版日期：2024年7月16日
基金项目：四川省科技计划重点研发资助项目常微分方程的数值求解与方法[
期刊论文] 成都信息工程大学学报--2024, 39(4)黑亚芳 胡建成针对各种微分方程数值求解的方法,如有限差分法、有限元法等方法,在求解微分方程时存在计算存储量、计算时间等都随着微分方程维数的增加而剧烈增长的问题,严重制约了高维问题的求解.神经网络因其能够无限逼近任意非线性函...参考文献和引证文献
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